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浅谈函数的凹凸性

函数的凹凸性 (Convexity and Concavity of Functions) 1. 基于二阶导数的定义 (Second Derivative Test) 设函数 $f: I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 在区间 $$ I $$ 上二阶可导：上凸函数 (Convex Up / Concave) 如果

f''(x) \ge 0, \quad \forall x \in I,

则称 $$ f $$ 在 $$ I $$ 上是上凸 (convex up) 或凹的 (concave)。

约束条件最值一百题001

题目已知 $x, y \ge 0$ ，且满足方程 $$x + 4y = x^2 y^3$$ ，求 $(\frac{8}{x} + \frac{1}{y})_{\min}$ 的值。解答过程(人类阵营) 消元+单变量基本不等式将原方程变形为关于 $$x$$ 的一元二次方程：

$$y^3 x^2 - x - 4y = 0$$

利用求根公式解出 $$x$$ （取正根）：

自然对数的估值方法

泰勒展开 $\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$ 需要注意的是,此公式具有收敛半径 $$R=1$$ ,仅适用于 $x\approx 0$ 的情况. 具体内容,可以见浅谈泰勒展开与高考数学. 帕德逼近(※) 以下是维基百科给出的简介,这里不加赘述. 总之,一般在主对角线[n,n]上(或附近)的帕德逼近比较精确. [1, 1] 阶:

浅谈泰勒展开与高考数学

泰勒公式高数知识泰勒 (Taylor) 公式的主要作用是用多项式逼近函数和近似计算，对应的分别是带有皮亚诺余项的泰勒公式和带有拉格朗日余项的泰勒公式。

带有皮亚诺余项的泰勒公式若函数 $$ f(x) $$ 在点 $$ x_0 $$ 处存在直至 $$ n $$ 阶导数，则有

每日艺题 DAY002

$$a_n$$ $$S_n$$ 联袂数列(有通项)

\begin{gather} a_nS_n=\cfrac{1}{4^n},a_1>0,求a_n. \end{gather}

Attempt1:

\begin{gather} 消去S_n:S_n=\cfrac{1}{a_n4^n}\\ S_{n+1}=\cfrac{1}{a_{n+1}4^{n+1}}\\ a_{n+1}=\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{4}{a_n}})\\ =\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{a_{n}-4a_{n+1}}{a_na_{n+1}}}) \end{gather}

这样的形式还是太复杂了,遂放弃.

每日艺题 DAY001

$S_{n},a_{n}$ 联袂数列(无通项) 题目：已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的无穷数列,其前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$ ,且

a_n + S_n = a_n S_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)

给出下列四个结论： ① $a_2 = \sqrt{2}$ ； ② 存在一个正数 $$m_0$$ ,使得对任意的 $n \in \mathbb{N}^*$ ,都有 $$S_n < m_0$$ ； ③ 数列 $\{a_n\}$ 单调递减； ④ 对任意的 $n \in \mathbb{N}^*$ , $n \geq 2$ ,都有 $a_{n-1} + a_{n+1} > 2a_n$ 。其中所有正确结论的序号是___。 (SRC:北京101中2025-2026第一学期高三数学统练二)