题干

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$$ \begin{cases} \ln x\lt \frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}, & 0 \lt x \lt 1 \\ \ln x\gt \frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}, & x \gt 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \ln (x+1)\lt \frac{3x^2+6x}{x^2+6x+6}, & -1 \lt x \lt 0 \\ \ln (x+1)\gt \frac{3x^2+6x}{x^2+6x+6}, & x \gt 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \ln x\lt \frac{x^2+4x-5}{4x+2},\\ \ln (x+1)\lt \frac{x^2+6x}{4x+6} \end{cases} $$

关于 $\ln x$ 和 $\ln(x+1)$ 的不等式,可以由平移互相推出,所以精度是一致的.

注意,这些不等式只有在接近取等条件时精度才高,所以对于偏离取等条件的对数估值,可以进行数值分拆.

  1. 估计 $\ln 2$ 的近似值.(精确到0.001)
$$ \ln 2=\ln \frac{4}{3}+\ln \frac{5}{4}+\ln \frac{6}{5}\\ 这里我们用\ln(x+1)的帕德逼近进行估值:\\ \ln \frac{4}{3}\lt \frac{(\frac{1}{3})^2+6(\frac{1}{3})}{4(\frac{1}{3})+6}=\frac{19}{66}\lt 0.2879\\ \ln \frac{5}{4}\lt \frac{(\frac{1}{4})^2+6(\frac{1}{4})}{4(\frac{1}{4})+6}=\frac{25}{112}\lt 0.2233\\ \ln \frac{6}{5}\lt \frac{(\frac{1}{5})^2+6(\frac{1}{5})}{4(\frac{1}{5})+6}=\frac{31}{170}\lt 0.1824\\ \ln 2\lt 0.2879+0.2233+0.1824=0.6936\\ \ln \frac{4}{3}\gt \frac{3(\frac{1}{3})^2+6(\frac{1}{3})}{(\frac{1}{3})^2+6(\frac{1}{3})+6}=\frac{21}{73}\gt 0.2876\\ \ln \frac{5}{4}\gt \frac{3(\frac{1}{4})^2+6(\frac{1}{4})}{(\frac{1}{4})^2+6(\frac{1}{4})+6}=\frac{27}{121}\gt 0.2231\\ \ln \frac{6}{5}\gt \frac{3(\frac{1}{5})^2+6(\frac{1}{5})}{(\frac{1}{5})^2+6(\frac{1}{5})+6}=\frac{33}{181}\gt 0.1823\\ \ln 2\gt 0.2876+0.2231+0.1823=0.6930\\ 综上,\ln 2\approx 0.693\\ 如果直接用Pade逼近,得到:\\ \ln 2\lt \frac{(1)^2+6(1)}{4(1)+6}=\frac{7}{10}=0.7\\ \ln 2\gt \frac{3(1)^2+6(1)}{(1)^2+6(1)+6}=\frac{9}{13}\gt 0.6923\\ 精度是远远不够的 $$

题目出处及标答:

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  1. 证明: $(\frac{6}{5})^{\sqrt{3}}\gt(\frac{5}{4})^{\sqrt{2}}$

不等式两边取对数,得:

$$ \sqrt{3}\ln \frac{6}{5}\gt \sqrt{2}\ln \frac{5}{4}\\ 由(1)中结论,\sqrt{3}\ln \frac{6}{5}\gt \sqrt{3}\frac{33}{181}\gt \sqrt{2}\frac{25}{112}\gt \sqrt{2}\ln \frac{5}{4}\\ 这相当于:\\ \frac{3}{2}\gt (\frac{4525}{3696})^2\\ (\frac{4525}{3696})^2\lt (\frac{4525}{3695})^2=(\frac{905}{739})^2\lt 1.2247^2\lt 1.5\\ Q.E.D $$

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法一构造函数惊为天人(观察到30=6x5,20=5x4).

如果提前消去不等式两边相同的部分,就不需要Pade逼近这么高精度的放缩了.

  1. (2021全国乙卷)排序 $a=2\ln 1.01,b=\ln 1.02,c=\sqrt{1.04}-1$

由琴生不等式: $b+\ln 1\lt 2\ln 1.01$ ,故 $b\lt a$

估计 $\ln(x+1)$ 时,如果 $x\approx 0$ ,可以不用Pade逼近,改用飘带函数.

$1+2\ln(1.01)\gt 1+2\times\frac{2(1.01-1)}{1.01+1}=\frac{205}{201}$

$\frac{205^2}{201^2}-1=\frac{4\times 406}{201^2}\gt 0.04$

由广义二项式定理: $ (1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) $

$(1+0.04)^{0.5}\gt 1+0.04\times 0.5-0.04^2\times 0.125=1.0198$

故 $a\gt c$ ,下面比较 $c,b$ .

$1+b\lt 1+\frac{(\frac{1}{50})^2+6(\frac{1}{50})}{4(\frac{1}{50})+6}=\frac{15501}{15200}\lt \sqrt{1.04}$

实际上 $b,c$ 的数值比较是困难的,应该构造函数比较.

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  1. 证明:
    • $x\gt 1$ 时, $\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})>\ln x>\frac{3x^2-3}{x^2+4x+1}>2\frac{x-1}{x+1}$
    • $1\gt x\gt 0$ 时, $\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})<\ln x<\frac{3x^2-3}{x^2+4x+1}<2\frac{x-1}{x+1}$

📌 Summary(ChatGPT)

本文围绕对数函数 $\ln x$ 与 $\ln(1+x)$ 的 Padé 逼近与不等式放缩 展开，系统总结了一类高考常见的估值与比较技巧。

🔑 核心结论

  • 构造了两组经典逼近不等式：

    $$ \ln x \sim \frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}, \quad \ln(1+x) \sim \frac{3x^2+6x}{x^2+6x+6} $$

    二者可通过变量平移互相转化，且在取等点附近具有较高精度。

  • 给出了更简洁但精度略低的放缩形式：

    $$ \ln x < \frac{x^2+4x-5}{4x+2}, \quad \ln(1+x) < \frac{x^2+6x}{4x+6} $$

  • 强调：Padé 逼近是局部最优近似，仅在接近展开点时精度较高，远离时需通过数值分拆提升精度。

📊 方法应用

  • 利用分拆 + Padé 逼近，高精度估算 $\ln 2$
  • 构造不等式链，比较指数大小
  • 结合琴生不等式与“飘带函数”处理小量对数
  • 构造函数解决复杂大小关系问题

📈 重要思想

  • 用 Padé 逼近构造“高精度放缩”
  • 利用平移统一 $\ln x$ 与 $\ln(1+x)$
  • 通过分拆将“大偏差”转化为“多个小偏差”
  • 在不同区间建立分段不等式结构

💡 核心思想：
通过 Padé 逼近构造精确不等式，结合分拆与函数性质，实现对数函数的高精度估值与大小比较。