两个重要数列

$n\in N^*$ ,有以下两个数列:

  • $a_n=(1+\frac{1}{n})^n$
  • $b_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$

我们有以下两个结论:

  1. $a_n\lt e\lt b_n$
  2. $\{a_n\}$ 为递增数列, $\{b_n\}$ 为递减数列
  3. $\{a_n\},\{b_n\}$ 收敛, $\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=e$

我们可以观看优美的desmos图像感受性质.

下面进行证明:

先证(1),其等价于:

$$ \begin{gather} n\ln (1+\frac{1}{n})\lt 1 \lt (n+1)\ln (1+\frac{1}{n})\\ \frac{1}{n+1}\lt\ln (1+\frac{1}{n})\lt \frac{1}{n} \\ 这其实就是对数不等式链的核心:\\ x^2-x\ge xlnx\\\ge x-1\ge lnx\ge 1-\cfrac{1}{x}\\\ge \cfrac{lnx}{x}(x=0,x\gt 0) \end{gather} $$

对于(2),其证明有两大类流派:

构造函数(导就完了)

取对数可以化简复杂指数,所以:

$\{a_n\}$ 为递增数列,等价于:

$$ \begin{gather} n\ln (1+\frac{1}{n})\lt (n+1)\ln (1+\frac{1}{n+1})\\ \frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}\lt \frac{\ln (1+\frac{1}{n+1})}{\frac{1}{n+1}}\\ [一解]\\ 构造函数:f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x}(0\lt x\le 1)\\ f'(x)=\frac{\frac{x}{x+1}-ln(x+1)}{x^2}\\ 注意到:\ln (x+1)\gt \frac{x}{x+1}(x\gt 0),有:\\ f'(x)\lt 0,f(x)单调递减,又:\\ \frac{1}{n}\gt \frac{1}{n+1}\\ 证明完毕.\\ [另解]\\ 构造函数g(x)=x[\ln(x+1)-\ln x](x\ge 1)\\ g'(x)=\ln \frac{x+1}{x}+\frac{x}{x+1}-1\\\gt 1-\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x+1}-1=0\\ 于是g(x)单调递增,Q.E.D. \end{gather} $$

可以发现,对此题,需要进行换元的方法未必比更直接的方法简便.主要问题还是在于,学会对对数+分式型函数求导.

18．（13 分）（2015 • 北京）已知函数 $ f(x) = \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) $ ， $ x \in (-1, 1) $ 。
（Ⅰ）求曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (0, f(0)) $ 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当 $ x \in (0, 1) $ 时， $ f(x) > 2x $ ；
（Ⅲ）设实数 $ k $ 使得 $ f(x) > kx $ 对 $ x \in (0, 1) $ 恒成立，求 $ k $ 的最大值。

不等放缩

$$ (1+\frac{1}{n})^n\lt (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}\\ 根据"项数不够就凑一"原则:\\ 1(1+\frac{1}{n})^n\lt (\frac{1+n(1+\frac{1}{n})}{n+1})^{n+1}=RHS\\ (1+\frac{1}{n})^{n+1}\gt (1+\frac{1}{n+1})^{n+2}\\ 与均值不等式的不等号方向相反,所以取倒数:\\ 即证:(\frac{n}{n+1})^{n+1}\lt (\frac{n+1}{n+2})^{n+2}\\ 1(\frac{n}{n+1})^{n+1}\lt (\frac{1+(n+1)\frac{n}{n+1}}{n+2})^{n+2}=RHS $$

用这种方法,可以证明伯努利不等式:

$$ x\gt -1,n\in N^*,则: (1+x)^n\ge 1+nx\\ (当且仅当x=0或n=1时等号成立)\\ \underbrace{1 \times 1 \times \cdots \times 1}_{n-1 \text{ 个}}(1+nx)\\\le (\frac{1\times (n-1)+1+nx}{n})^n=LHS $$

事实上,伯努利不等式的本质是函数的凹凸性

$$ f(x)=(1+x)^n,f'(x)=n(1+x)^{n-1},\\f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\ge 0,故:\\f(x)在定义域内为凸函数.\\ 从二阶导的符号,可以看出n\in N^*的作用.\\ f'(0)=n,f(0)=1,f(x)在原点的切线为:\\ y=1+nx\le f(x)=f(x)=(1+x)^n $$

从中我们不难看出,如果 $n\in (0,1)$ ,则伯努利不等式的方向发生改变,仅因为二阶导的符号改变.

有了(1)(2)两个结论,根据单调有界定理即证(3)

小试牛刀

可以运用 ${a_n},{b_n}$ 的性质进行解题.

2015年北京大学自主招生

  1. 满足等式 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x+1} = \left(1 + \frac{1}{2015}\right)^{2015}$ 的整数 $x$ 的个数是______。

$x>0时,有LHS=b_x>e>a_{2015},无解$

$$ x<0时,我们进行"负代换":\\ 令n=-x>0,则左式化为:\\ (1-\frac{1}{n})^{1-n}=(\frac{n}{n-1})^{n-1}=a_{n-1}=a_{2015}\\ 又{a_n}单调递增,故:\\ 只有n=2016,x=-2016一个解 $$

亦可以仿照以上的处理方法,触类旁通: 以下内容摘自《导数的秘密》.

下面我们对这些问题悉数求解:

  1. $e^{\pi} > \pi^{e}$

取对数,等价于: $\frac{\ln e}{e}\gt \frac{\ln \pi}{\pi}$

这显然成立.

  1. 试证 $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[e]{e}$

即证: $\frac{\ln 2}{2}\lt \frac{\ln 3}{3}\lt \frac{\ln e}{e}$

熟知 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的单调性:

$\frac{\ln 2}{2}=\frac{\ln 4}{4}<\frac{\ln 3}{3}\lt \frac{\ln e}{e}$

  1. 若 $S=\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{82}+\sqrt[3]{83}+\cdots+\sqrt[3]{125}$ ，求 $[S]$ 的值

这个题第一问证明了伯努利不等式,第二问是对正整数幂和的估计.

$$k\in R^+,n\in N^*,\\ \frac{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}{k+1}\lt n^k \lt \frac{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}{k+1}\\ 这等价于:\\ 1-(1-\frac{1}{n})^{k+1}\lt \frac{k+1}{n}\lt (1+\frac{1}{n})^{k+1}-1\\ 俨然就是伯努利不等式的形式,Q.E.D $$

这里先挖个坑:也可用拉格朗日中值定理证明.

有了两个方向的不等式,可以进行放缩:

$$ \frac{125^{\frac{4}{3}}-80^\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}\lt S\lt \frac{126^{\frac{4}{3}}-81^\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} $$

(参考数据： $80^{\frac{4}{3}} \approx 344.7,81^{\frac{4}{3}} \approx 350.5,124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3,126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7$ )

可知S的整数部分为210,但是这道题非常逆天:

[x]被定义为不小于x的最小整数,所以答案为211.

  1. 将 $\mathrm{e}^3, 3^{\mathrm{e}}, \mathrm{e}^\pi, \pi^{\mathrm{e}}, 3^\pi, \pi^3$ 这 6 个数( $A_3^2$ )按照从小到大的顺序排列

给六个数排序,理论上最坏需要十五个(冒泡排序)不等号:

由指数函数单调性:

$$ e^3\lt e^\pi,3^e\lt 3^\pi,\pi^e\lt \pi^3 $$

由幂函数单调性:

$$ 3^e\lt \pi^e,e^\pi\lt 3^\pi $$

接下来比较: $3^e,e^3$ 及 $3^\pi,\pi^3$

仿照1取对数的做法,知:

$$ 3^e\lt e^3,3^\pi\gt \pi^3 $$

于是可以写出两个不等式链:

$$ 3^e\lt \pi^e\lt \pi^3\lt 3^\pi,\\ 3^e\lt e^3\lt e^\pi\lt 3^\pi $$

于是可知,6个数中最小的是 $3^e$ ,最大的是 $3^\pi$ .

做到这里,第二问就可以拿全分了.(第三问随缘)

接下来,我们需要比较 $\pi^e,\pi^3,e^3,e^\pi$ 这四个数的大小.

首先显然有 $e^\pi>\pi^e,e^\pi>e^3$ .

先试着比较 $\pi^e,e^3$ ,即比较 $e\ln \pi,3$ .

$$ \ln x\ge\frac{x}{e}(x=e),\\ 故:e\ln \pi\gt \pi\gt 3,e\ln \pi\gt3\\ \pi^e\gt e^3 $$

而我们又有: $\pi^3\gt \pi^e\gt e^3$ ,

故只需要比较 $e^\pi,\pi^3$ ,即 $\pi,3\ln \pi$

$$ 熟知\ln 3\approx 1.099,3\ln \pi\gt 3\ln 3\gt \pi\\ \pi^3\gt e^\pi\gt \pi^e\gt e^3 $$

整合第二问的最大项,最小项:

$3^\pi\gt \pi^3\gt e^\pi\gt \pi^e\gt e^3\gt 3^e$

如此题目,使人汗颜.

对数放缩的千层套路

  1. $x-1\ge lnx\ge 1-\cfrac{1}{x}$
  2. (1变形) $\frac{1}{n+1}\lt \ln(1+\frac{1}{n})\lt \frac{1}{n}$
  3. $\ln x\le \sqrt{x-1}(x\ge 1)$
  4. 飘带函数
    • $\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x})\lt lnx\lt \cfrac{2(x-1)}{x+1},x\lt 1$
    • $\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x})\gt lnx\gt \cfrac{2(x-1)}{x+1},x\gt 1$
  5. 飘带变形
    • $\ln(x+1)\gt \frac{1}{2}(x+\frac{x}{x+1})(-1\lt x\lt0)$
    • $\ln(x+1)\lt \frac{1}{2}(x+\frac{x}{x+1})(x\gt 0)$

运用以上的函数不等式,可以证明一些求和不等式.

$\sum_{i=1}^n\frac{1}{i+1}\lt \ln(n+1)\lt \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}(※)$

$\sum_{i=1}^n\frac{1}{n+i}\lt \ln(2)\lt \sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{n+i}$

※不等式说明了调和级数不收敛,并且这个估值可以用反比例函数与x轴围成的面积解释(这里挖个坑,以后写积分放缩的技巧)

文章整体总结(Grok) 这篇课堂复盘以 $ a_n $ 和 $ b_n $ 两个数列 为核心，系统梳理了 e 的极限定义、单调有界性证明、对数不等式、伯努利不等式及其凸性本质。通过高考题、自招题以及多个经典不等式比较问题，展示了对数放缩、函数单调性分析、不等式放缩技巧在数列与不等式证明中的强大应用。 文章强调了“换元、对数化简、构造函数求导、凸凹性判断”等核心数学思想，同时通过 Desmos 可视化和具体例题，帮助学生将抽象性质与解题技巧紧密结合，体现了高中数学中极限、不等式、导数应用的综合性与优美性。 一句话总结： 通过两个逼近 e 的数列，掌握对数不等式、伯努利不等式与函数单调性的证明方法，是理解 e 的本质、提升不等式证明能力的重要途径。

END.