泰勒公式

高数知识

泰勒 (Taylor) 公式的主要作用是用多项式逼近函数和近似计算，对应的分别是带有皮亚诺余项的泰勒公式和带有拉格朗日余项的泰勒公式。

1. 带有皮亚诺余项的泰勒公式

若函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处存在直至 $ n $ 阶导数，则有

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n).$$

用得较多的是泰勒公式在 $ x_0 = 0 $ 时的特殊形式：

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n).$$

它也称为 (带有皮亚诺余项的) 麦克劳林 (Maclaurin) 公式。★

2. 带有拉格朗日余项的泰勒公式

若函数 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上存在直至 $ n $ 阶的连续导函数，在 $(a, b)$ 内存在 $ n+1 $ 阶导函数，则对任意给定的 $ x, x_0 \in [a, b] $ ，至少存在一点 $\xi \in (a, b)$ ，使得

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}.$$

当 $ x_0 = 0 $ 时，得到

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \quad (0 < \theta < 1).$$

它也称为 (带有拉格朗日余项的) 麦克劳林公式。

考虑含拉格朗日余项的麦克劳林公式,可以判断泰勒展开式与被展开函数的大小关系:

特别地,对于 $e^x$ ,它的n+1阶展开求导后就是n阶展开的导数(可以从积分的角度理解),并且存在"穿回穿回"的规律性:

$e^x\ge 1(x\ge 0)$

$e^x\ge x+1$

$e^x\ge \cfrac{1}{2}x^2+x+1(x\ge 0)$

同理,对于 $sinx,cosx$ 的泰勒展开,也可以类似的理解推导,并且判断展开式与函数的大小关系. (一般来讲,大小关系是由拉格朗日余项的正负决定的)

这里我们直接给出: $ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(x^{2n}) $

$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) $

$ \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15}x^5 + o(x^5) $

$tanx$ 的任意阶导数都是关于 $tanx$ 的(正)整系数多项式,并且归纳知2n+1阶导数常数项不为0,所以其在0处的2n+1阶导数一定大于1,使得泰勒展开式的n次项系数都大于 $\cfrac{1}{n!}$ ,这一点后文有用.

不等式强化的"打刀"与"胁差":

  1. 打刀:积分(无中生有,凭空升次)
  2. 胁差:换元(转换形式,揭露本质)

积分操作往往可以达到创造不等式的效果:

0线不等式

  1. $e^x+e^{-x}\ge 2$
  2. $e^x-e^{-x}\ge 2x(x\ge 0)$ (Source:2007年全国I卷理科)
  3. $e^x+e^{-x}\ge x^2+2$
  4. $e^x-e^{-x}\ge 2(x+\cfrac{x^3}{6})(x\ge 0)$

另一组实例:

  1. $xe^x\ge x$
  2. $(x-1)e^x\ge \cfrac{1}{2}x^2-1(x\ge 0)$

1线不等式

  • $e^x$
    1. $e^{x-1}\ge x$
    2. $e^{x}\ge ex$
    3. $e^x\ge \cfrac{e}{2}x^2+\cfrac{e}{2}$
  • $lnx$
    1. $x^2-x\ge xlnx\ge x-1\ge lnx\ge 1-\cfrac{1}{x}\ge \cfrac{lnx}{x}(x=0,x\gt 0)$
    2. 飘带函数
      • $\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x})\lt lnx\lt \cfrac{2(x-1)}{x+1},x\lt 1$
      • $\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x})\gt lnx\gt \cfrac{2(x-1)}{x+1},x\gt 1$

(相关的内容在前文均有铺垫) 泰勒展开式的堆砌组合:

  1. $x\in[0,+\infty),e^x-x-2+cosx\ge0$
  2. $e^x\gt lnx+2$
  3. $ntanx+sinx\ge (n+1)x(n\ge 1,x\in [0,π/2])$

变量代换也可以进一步强化不等式:

Info

注意自变量的取值范围

实例证明：

飘带不等式 ＆ 强化

$\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x})\ge\ln x \ge \frac{2(x-1)}{x+1}(x\ge 1)$ 是对数不等式中最著名的一个。我们设 $x = \frac{1+t}{1-t}(t\ge 0,x\ge 1)$ ，则：左边 $= \ln(\frac{1+t}{1-t}) = \ln(1+t) - \ln(1-t)$ ，右边 $= \frac{2(\frac{1+t}{1-t}-1)}{\frac{1+t}{1-t}+1} = \frac{2(\frac{2t}{1-t})}{\frac{2}{1-t}} = 2t$

泰勒展开对比：我们知道 $\ln(1+t)$ 和 $\ln(1-t)$ 的展开式：

$$ \ln(1+t) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{t^n}{n} $$

$$ \ln(1-t) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} $$

相减得：

$$\ln \frac{1+t}{1-t} = 2(t + \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} + \dots) = 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n+1}}{2n+1}\ge 2t(t\ge 0)$$

在 $e^x-e^{-x}\ge 2x(x\ge 0)$ 中带入 $x=lnt(t\ge 1)$ ,即证:

$lnt\le \cfrac{1}{2}(t-\cfrac{1}{t})(t\ge 1)$

在 $lnx\lt \cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x}),x\gt 0中,带入\sqrt{x},有lnx\lt \sqrt{x}-\cfrac{1}{\sqrt{x}},x\gt 0$

合并起来,获得一条不等式链:

$\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x})\gt \sqrt{x}-\cfrac{1}{\sqrt{x}}\gt lnx\gt \cfrac{2(x-1)}{x+1},x\gt 1$

(1)函数 $f(x)=xe^x-x-ln(x)$ 的最小值

(2)函数 $f(x)=\cfrac{e^x}{x}-x+ln(x)$ 的最小值

查看答案(1)1 (2)e-1

二者的外层函数都是 $g(t)=e^t-t$ ,但是t的取值范围不同.

(1) $x\ge 0,e^x-ax^2-x-1\ge 0$ 恒成立,求 $a$ 的取值范围 (2) $x\in R,e^x-ax^2-x-1\ge 0$ 恒成立,求 $a$ 的取值范围

查看答案

(1) $(-\infty,\cfrac{1}{2}]$ (2) $(-\infty,0]$

(1)是泰勒展开式

(2)涉及到极点效应( $x=0$ 为零点)

用哈吉米(Gemini)代笔写的解答,作为结语:

针对 2015 年北京高考理科数学第 18 题的第 (II) 问，为了符合高中生考试的严谨性，我们可以利用泰勒公式（带拉格朗日余项）作为构思来源，转化为构造函数求导的方法。

1. 构思：泰勒公式的拉格朗日余项

$f(x) = \ln(1+x) - \ln(1-x)$ 。由泰勒中值定理，一个函数在 $x=0$ 处的展开式可写为：

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^5$$

计算可知：

  • $f(0) = 0$
  • $f'(0) = 2$
  • $f''(0) = 0$
  • $f'''(0) = 4$
  • $f^{(4)}(0) = 0$

于是， $f(x) = 2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{f^{(5)}(\xi)}{120}x^5$ 。 只要能通过求导证明 $f^{(5)}(\xi) > 0$ ，就能严格说明 $f(x) > 2(x + \frac{x^3}{3})$ 。

2. 标准的求导证明过程（推荐写法）

证明： 令 $g(x) = f(x) - 2(x + \frac{x^3}{3}) = \ln\frac{1+x}{1-x} - 2x - \frac{2}{3}x^3$ ，其中 $x \in (0, 1)$ 。 只需证明当 $x \in (0, 1)$ 时， $g(x) > g(0) = 0$ 恒成立。

第一步：求一阶导数

$$g'(x) = f'(x) - 2 - 2x^2$$

由于 $f(x) = \ln(1+x) - \ln(1-x)$ ，则 $f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{-1}{1-x} = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} = \frac{2}{1-x^2}$ 。

$g'(x) = \frac{2}{1-x^2} - 2 - 2x^2 = 2 \left( \frac{1 - (1-x^2) - x^2(1-x^2)}{1-x^2} \right)$

$g'(x) = 2 \left( \frac{1 - 1 + x^2 - x^2 + x^4}{1-x^2} \right) = \frac{2x^4}{1-x^2}$

第二步：分析单调性 因为 $x \in (0, 1)$ ， 所以 $x^4 > 0$ 且 $1-x^2 > 0$ ， 得 $g'(x) > 0$ 。

第三步：得出结论 因此， $g(x)$ 在 $[0, 1)$ 上单调递增。 所以当 $x \in (0, 1)$ 时， $g(x) > g(0) = 0$ 。 即：

$$\ln\frac{1+x}{1-x} > 2(x + \frac{x^3}{3})$$

证毕。

给高中生的技巧总结

  • 如何快速找到 $2x + \frac{2}{3}x^3$ ？ 这就是泰勒级数的前两项。
  • 导数结果的特征：你会发现 $g'(x)$ 的分子项恰好是泰勒展开中缺失的下一项的“影子”（ $x^4$ 对应级数中的 $x^5$ 项）。
  • 为什么这种写法稳拿满分？ 因为它避开了无穷级数的敛散性讨论，完全使用高中数学大纲内的导数工具，但背后却有着泰勒展开的精确指引。

根据文中的逻辑，积分与换元操作提升不等式精度的原因可以从以下几个维度理解：

1. 积分操作的“积累”效应

文中提到“积分操作往往可以达到强化不等式的效果”。其核心逻辑在于：

  • 误差缩减：对一个不等式进行积分，相当于在区间内累加函数值。如果原不等式在某一点存在微小的差值，通过积分，这种差值会被“平滑”并转化为更紧致的上下界关系。
  • 阶数提升：在泰勒展开的视角下，对 $n$ 阶多项式进行积分会产生 $n+1$ 阶的多项式。对于 $e^x$ ，其 $n+1$ 阶展开求导后就是 $n$ 阶展开的导数。更高阶的多项式能够更细腻地刻画原函数的弯曲程度，从而在远离展开点（如 $x=0$ ）的地方依然保持较高的精度。

2. 换元操作的“跨函数”联动

通过变量代换，可以将已知的高精度不等式转化为其他函数的不等式，实现精度的“迁移”：

  • 指数与对数的转化：文中通过在 $e^x - e^{-x} \ge 2x (x \ge 0)$ 中带入 $x = \ln t$ ，成功诱导出了对数不等式 $\ln t \le \frac{1}{2}(t - \frac{1}{t}) (t \ge 1)$ 。这种转化保证了指数函数在极小尺度下的精确性质被完整保留到了对数函数中。
  • 尺度压缩：例如在 $\ln x < \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x})$ 中带入 $\sqrt{x}$ 替代 $x$ ，可以将原本在较大范围内误差较大的不等式“拉回”到高精度区域，从而获得如 $\ln x < \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ 这样更为强化的“飘带”链。

3. 泰勒余项的本质控制

文中指出，大小关系本质上是由拉格朗日余项的正负决定的。

  • 精准截断：通过积分或换元构造出的新函数，其泰勒展开式的低阶项往往能完美抵消掉目标函数的对应项。例如在证明 2015 年北京卷真题时，构造 $g(x)$ 的一阶导数 $g'(x) = \frac{2x^4}{1-x^2}$ ，剩下的第一项非零项阶数越高，说明该不等式在零点附近的“贴合度”越高，精度也就越强。

这篇文章通过对泰勒公式（麦克劳林级数）的深入剖析，揭示了高考导数压轴题中各类“飘带”不等式与强化放缩的逻辑本源。从拉格朗日余项的误差估计到级数项的堆砌组合，这些工具不仅提供了强大的近似计算能力，更为我们构造辅助函数提供了精确的“导航图”。 总结而言，泰勒展开并非只是超越大纲的“作弊器”，它更是连接高中导数工具与高等数学逻辑的桥梁。掌握了它，那些繁杂的不等式链将不再是孤立的结论，而是级数规律在特定阶数下的必然体现。