导数

函数的凹凸性 (Convexity and Concavity of Functions) 1. 基于二阶导数的定义 (Second Derivative Test) 设函数 $f: I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 在区间 $I$ 上二阶可导： 上凸函数 (Convex Up / Concave) 如果

则称 $f$ 在 $I$ 上是 上凸 (convex up) 或 凹的 (concave)。

泰勒展开 $ \ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n) $ 需要注意的是,此公式具有收敛半径 $R=1$ ,仅适用于 $x\approx 0$ 的情况. 具体内容,可以见浅谈泰勒展开与高考数学. 帕德逼近(※) 以下是维基百科给出的简介,这里不加赘述. 总之,一般在主对角线[n,n]上(或附近)的帕德逼近比较精确. [1, 1] 阶:

泰勒公式 高数知识 泰勒 (Taylor) 公式的主要作用是用多项式逼近函数和近似计算，对应的分别是带有皮亚诺余项的泰勒公式和带有拉格朗日余项的泰勒公式。

1. 带有皮亚诺余项的泰勒公式 若函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处存在直至 $ n $ 阶导数，则有