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数列

每日艺题 DAY002

$a_n$ $S_n$ 联袂数列(有通项)

$$ \begin{gather} a_nS_n=\cfrac{1}{4^n},a_1>0,求a_n. \end{gather} $$

Attempt1:

$$ \begin{gather} 消去S_n:S_n=\cfrac{1}{a_n4^n}\\ S_{n+1}=\cfrac{1}{a_{n+1}4^{n+1}}\\ a_{n+1}=\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{4}{a_n}})\\ =\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{a_{n}-4a_{n+1}}{a_na_{n+1}}}) \end{gather} $$

这样的形式还是太复杂了,遂放弃.

February 12, 2026

每日艺题 DAY001

$S_{n},a_{n}$ 联袂数列(无通项) 题目： 已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的无穷数列,其前 $n$ 项和为 $S_n$ ,且

$$ a_n + S_n = a_n S_n \quad (n \in \mathbb{N}^*) $$

给出下列四个结论： ① $a_2 = \sqrt{2}$ ； ② 存在一个正数 $m_0$ ,使得对任意的 $n \in \mathbb{N}^*$ ,都有 $S_n < m_0$ ； ③ 数列 $\{a_n\}$ 单调递减； ④ 对任意的 $n \in \mathbb{N}^*$ , $n \geq 2$ ,都有 $a_{n-1} + a_{n+1} > 2a_n$ 。 其中所有正确结论的序号是___。 (SRC:北京101中2025-2026第一学期高三数学统练二)

February 10, 2026