两个重要数列 $n\in N^*$ ,有以下两个数列: $a_n=(1+\frac{1}{n})^n$ $b_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ 我们有以下两个结论: $a_n\lt e\lt b_n$ $\{a_n\}$ 为递增数列, $\{b_n\}$ 为递减数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 收敛, $\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=e$ 我们可以观看优美的desmos图像感受性质. ...
题目 已知 $x, y \ge 0$ ，且满足方程 $x + 4y = x^2 y^3$ ，求 $(\frac{8}{x} + \frac{1}{y})_{\min}$ 的值。 解答过程(人类阵营) 消元+单变量基本不等式 将原方程变形为关于 $x$ 的一元二次方程： $$y^3 x^2 - x - 4y = 0$$ 利用求根公式解出 $x$ （取正根）： ...
泰勒展开 $ \ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n) $ 需要注意的是,此公式具有收敛半径 $R=1$ ,仅适用于 $x\approx 0$ 的情况. 具体内容,可以见浅谈泰勒展开与高考数学. 帕德逼近(※) 以下是维基百科给出的简介,这里不加赘述. ...
$a_n$ $S_n$ 联袂数列(有通项) $$ \begin{gather} a_nS_n=\cfrac{1}{4^n},a_1>0,求a_n. \end{gather} $$ Attempt1: $$ \begin{gather} 消去S_n:S_n=\cfrac{1}{a_n4^n}\\ S_{n+1}=\cfrac{1}{a_{n+1}4^{n+1}}\\ a_{n+1}=\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{4}{a_n}})\\ =\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{a_{n}-4a_{n+1}}{a_na_{n+1}}}) \end{gather} $$ 这样的形式还是太复杂了,遂放弃. ...
$S_{n},a_{n}$ 联袂数列(无通项) 题目： 已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的无穷数列,其前 $n$ 项和为 $S_n$ ,且 $$ a_n + S_n = a_n S_n \quad (n \in \mathbb{N}^*) $$ 给出下列四个结论： ① $a_2 = \sqrt{2}$ ； ② 存在一个正数 $m_0$ ,使得对任意的 $n \in \mathbb{N}^*$ ,都有 $S_n < m_0$ ； ③ 数列 $\{a_n\}$ 单调递减； ④ 对任意的 $n \in \mathbb{N}^*$ , $n \geq 2$ ,都有 $a_{n-1} + a_{n+1} > 2a_n$ 。 其中所有正确结论的序号是___。 (SRC:北京101中2025-2026第一学期高三数学统练二) ...